منبع پایان نامه ارشد درمورد انرژی، زیر، √3/2

(r-m) H X (r) (1-13)
حاصل انتگرال به صورت زیر در نظر گرفته می شود :
∫▒d^3 r X^* (r-m) H X (r)=-t (1-14)
t پارامتر جهش بین نزدیکترین همسایه هاست و مقدار آن برای گرافن ev 66/2 است. رابطه (1-13) به عبارت زیر می انجامد که در آن f(x) به عنوان فاکتور هندسی68 معرفی می شود:
H_AB=-t∑_ ^ ▒e^(-ikm_l ) =-t f(x) (1-15)
واضح است که عنصر غیر قطریH_BA را هم می توان به راحتی محاسبه کرد:
H_BA=〖H_AB〗^*=-t f^* (x)=-t f(x) (1-16)
برای محاسبه فاکتور هندسی ، بردارm_l مورد نیاز است:
m_1=a e_y , m_2=√3/2 a(e_x-1/√3 e_y ) , m_3=√3/2 a(〖-e〗_x-1/√3 e_y ) (1-17)
با جایگذاری در تابع نمایی نتیجه می شود:
f(x)=e^(-ik_y a)+(e^(-ik_x √3/2 a) e^(ik_(y ) a/2))+〖( e〗^(ik_x √3/2 a ) e^(ik_(y ) a/2)) =e^(-ik_y a)+e^(ik_(y ) a/2) (2 cos⁡〖(k_x √3/2 a〗)) =[(e^(-ik_y a)+〖2 e〗^(ik_(y ) a/2) cos⁡〖(k_x √3/2 a〗))×(e^(ik_y a)+〖 2e〗^(-ik_(y ) a/2) cos⁡〖(k_x √3/2 a〗))]^(1/2)=[1+(2 cos⁡〖(k_x √3/2 a〗))(e^(-ik_y 3a/2)+e^(ik_(y ) 3a/2) )+(4 〖cos〗^2⁡〖(k_x √3/2 a〗))]^(1/2)=[1+4〖cos〗^2 (k_x √3/2 a)+4 cos⁡〖(k_x √3/2 a〗)cos⁡〖(k_y 3/2 a〗)]^(1/2)
که در محاسبه فوق از تساویf(x)=√(|f(x)|^2 ) استفاده شده است.
به این ترتیب عناصر ماتریس انتقال یعنی H محاسبه شدند.
اکنون عناصر ماتریس همپوشانی یعنی S محاسبه می شوند. روش محاسبه عناصر S مشابه با روش به کار برده شده برای محاسبه عناصر H است.
تابع بلاخ (1-4) در رابطه زیر جایگذاری می گردد :
〖 S〗_AA=∫▒〖d^3 r〗 φ_A^* φ_A^
=∫▒d^3 r 1/√N ∑_(R_A)^N▒e^(-ikR_A ) X^* (r-R_A ) 1/√N ∑_(R_A^’)^N▒e^(ikR_A^’ ) X^ (r-R_A^’ )
=1/N ∑_(R_A R_A^’)^N▒e^(-ik〖(R〗_A-R_A^’)) X^* (r-R_A )X (r-R_A^’)(1-19)
همانطور که قبلا توضیح داده شد، R_A=R_A^’ را اختیار می کنیم. چون توابع ونیر نرمالیزه69 هستند، حاصل انتگرال یک خواهد شد. نتیجه حاصل مجددا به اتم هایB قابل تعمیم است. بنابر این:
S_AA=S_BB=1 (1-20)
برای عناصر غیر قطری S نیز از همان روش استفاده می شود. با جایگذاری تابع بلاخ خواهیم داشت:
S_AB=∫▒〖d^3 r〗 φ_A^* φ_B^
=∫▒d^3 r 1/√N ∑_(R_A)^N▒e^(-ikR_A ) X^* (r-R_A ) 1/√N ∑_(R_B)^N▒e^(ikR_B ) X^* (r-R_B )
=1/N ∑_(R_A)^N▒〖∑_(R_B)^N▒〖 〗 e〗^(-ik〖(R〗_A-R_B)) ∫▒d^3 r X^* (r-R_A ) X (r-R_B )
=1/N ∑_(R_B)^N▒〖∑_(m_l)^ ▒ e〗^(-ikm_l ) ∫▒d^3 r X^* (r-m) X (r)=S∑_(m_l)^ ▒e^(-ikm_l ) =S f(x)(1-21)
پارامتر S که در محاسبات وارد شده است به صورت زیر معرفی می گردد:
S=∫▒d^3 r X^* (r-m) X (r) (1-22)
این پارامتر، همپوشانی تابع ونیر را با نزدیکترین همسایه هایش نشان می دهد و مقدار آن حدود129/0 =S است. چون S خیلی کوچکتر از 1 است می توان از آن صرف نظر نمود.
به این ترتیب ، در نمایش ماتریس معادله به شکل زیر در می آید:
Hψ=ESψ ↔ (H_AA¦H_BA H_AB¦H_BB )(ψ_A¦ψ_B )=E(S_AA¦S_BA S_AB¦S_BB )(ψ_A¦ψ_B ) (1-23)
و نهایتا عناصر ماتریس های H و S به صورت زیر محاسبه شدند:
H=(E_0¦(-tf^* (x)) (-tf(x))¦E_0 ) , S=(1¦0 0¦1) (1-24)
مشاهده می شود که نتایج تنها به دو پارامتر بستگی دارد، انرژیE_0 و قدرت جهش t.
مقدارE_0 بر انرژی فرمی منطبق است و می توان آن را صفر اختیار نمود. مقدار t نیزاز محاسبات DFT و یا آزمایش به دست می آید و همانطور که ذکر شد برای گرافن در حدود ev 66/2 است.
ویژه مقادیر رابطه (1-23) با حل معادله زیر حاصل می شود:
det⁡(H-ES)=0 (1-25)
با حل این معادله نتیجه زیر برای رابطه ی پراکندگی به دست می آید:
E(x)=E_0±t|f(x)| (1-26)
ساختار نواری گرافن در شکل (1-9) نمایش داده شده است.
به عنوان نتیجه ای از حضور دو اتم در هر سلول واحد، رابطه پراکندگی شامل دو نوار است، نوار ظرفیت و نوار رسانش. دو نوار جدا شده اند: نوارπ در E<0 و نوارπ^* در E>0. این دو بر یکدیگر در نقاط K که تقارن بالایی دارند و در گوشه های اولین منطقه BZ قرار دارند، مماس می شوند. اگرچه 6 نقطه اینچنینی وجود دارند، اما فقط دو تای آن ها مستقل هستند، نقاط K وK’ (شکل 1-9). از آن جایی که 2 الکترون آزاد در هر سلول واحد وجود دارد، نوار π که نوار ظرفیت است کاملا پر شده است و نوار π^* که نوار رسانش است کاملا خالی است، در نتیجه انرژی فرمی در نقاط K وK’ (در E=0) قرار می گیرد]4[.
شکل 1-9- ساختار نواری گرافن که نوار ظرفیت ونوار رسانایی را نشان می دهد . انرژی فرمی دقیقا در نقاط K و K’ قرار دارد و حالت ها در نزدیکی این نقاط دره های مستقلی را در فضای تکانه شکل می دهند .
بنابراین گرافن هیچ گافی ندارد. با این وجود چگالی حالت ها درK وK’ صفر است و از این نقطه نظر گرافن گاهی نیمه رسانای بدون گاف70 نامیده می شود. با توجه به شکل مشاهده می شود که در نزدیکی این شش نقطه، جایی که دو نوار بر هم مماس هستند ،پراکندگی بر حسب K تقریبا خطی است و این یک ویژگی منحصر به فرد گرافن است.
1-9 – حد انرژی پایین71، الکترون های دیراک72
بیشتر ویژگی های جالب گرافن به برانگیختگی در انرژی های پایین مربوط می شود. حالت های الکترونیکی نزدیک سطح فرمی(E=0) ویژگی های انتقال الکترونیکی الکترون های رسانایی در گرافن را نشان می دهند. از این رو حالت های الکترونیکی نزدیک به نقاط K وK’ در حد انرژی های پایین را بررسی می نماییم.
نقطه شروع کار هامیلتونی به دست آمده در رابطه 1-24 است که در آن E_0 صفر اختیار می شود:
H=(0¦(-tf^* (x)) (-tf(x))¦0) (1-27)
بردار k بر حسب یک بردار K که به نقطهK (K^’) اشاره دارد و یک بردار کوچک q نوشته می شود:
k=K+q یا k=K^’+q (1-28)
بردار های K وK^’ برای مثال ±4π/(3a√3) e_x هستند(شکل1-8 – ب). حال فاکتور هندسی یعنی f(k)، پس از جایگذاری k=K+q ،بر حسب اولین مرتبه q بسط داده می شود:
f(k)=f(K+q)=∑_ml▒e^(-i(K+q)ml)
=∑_ml▒e^(-iKml) e^(-iqml)≅∑_ml▒e^(-iKml) (1-iqml)=-i∑_ml▒e^(-iKml) qml
با توجه به اینکه ∑_ml▒e^(-iKml) =0 می توان نوشت:
f(k)≅(-3a)/2 (-q_x+iq_y ) (1-29)
و بسط پیرامون نقطه K^’ نتیجه می دهد:
f(k)≅(-3a)/2 (q_x+iq_y ) (1-30)
مشاهده می شود که دو نتیجه در یک علامت متفاوتند. می توان متغیری مانند α معرفی کرد که برای K^ ،1- = α و برای K^’ ، 1= α باشد. غالبا α راکایرالیتی73 الکترون های دیراک می نامند.
به این ترتیب هامیلتونی در انرژی های پایین را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:
H_eff^α=-t×3a/2 (0¦(αq_x-iq_y ) (αq_x+iq_y)¦0),α=+1و-1 (1-31)
در نتیجه پراکندگی انرژی عبارت است از:
E_α^±=± t v_f |q|,v_f=(t 3a)/2ћ=8/7×〖10〗^5 (m⁄s) (1-32)
بنابراین انرژی در همسایگی نقاط k و k’ بر حسب q به صورت خطی تغییر می کند و تنها با یک پارامتر یعنی سرعت فرمی74 (v_f) نشان داده می شود]7[. این سرعت به چگالی حامل ها وابسته است. بنابر این در نقاط تماس پراکندگی انرژی به صورت خطی به بردار موج وابسته است و چگالی حالت ها به صورت زیر به انرژی مربوط می شود:
ρ(E)∝|E| یعنی چگالی حالت ها خطی است و بنابر این در انرژی صفر، صفر می شود]40[.
رفتار خطی گرافن کلید بسیاری از ویژگی های منحصر به فرد آن است، زیرا آن را به پدیده های نسبیتی مرتبط می سازد. می دانیم که پراکندگی انرژی ذرات نسبیتی از معادله دیراک به دست می آید:
E_ ^ =±√(c^2 t^2 k^2+ m^2 c^4 ) (1-33)
اگر در این رابطه جرم را صفر قرار دهیم، وابستگی انرژی خطی شده و رابطه ای مشابه با رابطه انرژی در گرافن بدست می آید، با این تفاوت که در آن جا سرعت فرمی، نقش سرعت نور را بازی می کند:
m=0□(→┴ ) E_ ^ =± c t |k| (1-34)
به همین دلیل الکترون های کم انرژی در گرافن مانند فرمیون های بدون جرم دیراک رفتار می کنند. گرافن اولین ماده ای است که فرمیون های دیراک را در دو بعد فراهم می کند و لذا در فیزیک ماده چگال بسیار حائز اهمیت است.
حال تابع موج را در حد انرژی های کم بررسی می کنیم. تابع موج کل را با ترکیب روابط 1-3 و 1-4 می توان به شکل زیر نوشت:
τ_k (r)=1/√N ∑_(R_A)^N▒C_A 〖(R〗_A) X(r-R_A )+1/√N ∑_(R_B)^N▒C_B 〖(R〗_B) X(r-R_B )(1-35)
که در آن C_A 〖(R〗_A)=ψ_A e^(i K R_A ) و C_B 〖(R〗_B)=ψ_B e^(i K R_B ) .
مشاهده می شود که تابع موج یک ترکیب خطی از دو بخش مربوط به جایگاه های A و B است .در حد انرژی های کم، بردار موج k تنها مقادیر نزدیک به K و K’را می گیرد. لذا عمومی ترین شکل تابع موج در این شرایط شامل یک ترکیب خطی به صورت زیر است]37[:
τ_(K ,K^’ ) (r)=1/√N ∑_(R_A)^N▒ ψ_A e^(i K R_A ) X(r-R_A )-1/√N ∑_(R_A)^N▒ 〖ψ^’〗_A e^(i K^’ R_A ) X(r-R_A )

مطلب مرتبط :   پایان نامه با کلید واژه هایویولت، ضرایب، زمانی

دیدگاهتان را بنویسید